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Seite neu laden Mathe: Das 3n+1 / 5n+1 Problem


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  #31  
Alt 20.08.2023, 09:29
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dreihirn dreihirn ist offline
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Hallo Thomas,
danke für die Daten.

 Zitat von Gilgamesch Beitrag anzeigen
Etwas Auffälliges ausser der Länge
kann ich nicht erkennen.
Aber das reicht doch schon. Ich habe mal bei Schritgröße 2
drei Screenshots gemacht: vom Anfang der Folge, irgendwo
aus der Mitte, und am Schluss. Natürlich erkennt man da die
Ziffern nicht mehr, aber die Längen der Zahlen.

Man sieht die Ähnlichkeit zu einem Casino mit "positivem
Erwartungswert", wo in jeder Runde log(3) bzw log(7) zu
zahlen ist und dann zufällig ein Gewinn von log(2) oder
2*log(2) oder 3*log(2) oder ... ausgezahlt wird, so ähnlich wie
bei den Gewinnleitern der Gauselmann-Geldautomaten.
(Wobei natürlich die Gauselmann-Automaten aus Sicht der
Spieler einen negativen Erwartungswert haben.)

Die große Länge der Folge zeigt, dass man auch bei gutem
Erwartungswert (hier 63/64 < 1) manchmal lange Durststrecken
überwinden muss, eher man wirklich ins Plus kommt.

Dank und Gruß, Ingo.
Miniaturansicht angehängter Grafiken
Klicke auf die Grafik für eine größere Ansicht Name: folge-anfang.jpg Hits: 30 Größe: 12,9 KB ID: 6194   Klicke auf die Grafik für eine größere Ansicht Name: folge-mitte.jpg Hits: 25 Größe: 25,5 KB ID: 6195   Klicke auf die Grafik für eine größere Ansicht Name: folge-schluss.jpg Hits: 25 Größe: 11,6 KB ID: 6196  
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  #32  
Alt 20.08.2023, 18:38
Gilgamesch Gilgamesch ist offline
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Jetzt werden die Zahlen wirklich groß.

Ich hatte schon länger nach einer C++ Library gesucht, die beliebig große natürliche Zahlen zulässt und endlich eine nicht zu komplexe Implementierung gefunden.
Damit habe ich die Overflows der 256 Bit Variante (3,3,7) nochmal überprüft.

Ergebnis:

Code:
Startwert:  2799
Runden:    14966
Schritte: 134261
Fixpunkt:      1
Höchster Wert:
4576380734615710479690106325689609211241863537762981964042455051075724332822215383625091530700741156
546681974982555045360453632 (127 Stellen)

Code:
Startwert: 14975
Runden:    51639
Schritte: 463293
Fixpunkt:     35
Höchster Wert:
9989323727783341288713747130739468253471810232357536641687347870748657993683879904466884139557940582
5553160183246255023839530657063922381301089297022146122314293811553434648714267582962923939302464618
9655985406114827467681702953665986109731506425351328900741453810959854609376  (276 Stellen)
Grüße,
Thomas
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borromeus (21.08.2023), dreihirn (20.08.2023), Wandersleben (20.08.2023)
  #33  
Alt 20.08.2023, 21:52
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dreihirn dreihirn ist offline
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Hallo Thomas,

abgefahren!
Wenn das der alte Collatz noch erlebt hätte.

 Zitat von Gilgamesch Beitrag anzeigen
Code:
Startwert:  2799
Runden:    14966
Schritte: 134261

Code:
Startwert: 14975
Runden:    51639
Schritte: 463293
Interessant ist der Quotient Schritte / Runden.
Bei 2799 ist er 8,971;
bei 14975 ist er 8,972.

8,97 circa= 9, und das passt gut.
In jeder Runde drei *-Schritte und durchschnittlich
sechs Halbierungen.

Mit Dank und Gruss, Ingo.
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  #34  
Alt 20.08.2023, 22:06
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
 Zitat von Gilgamesch Beitrag anzeigen
Code:
Startwert: 14975
Runden:    51639
Schritte: 463293
Fixpunkt:     35
Höchster Wert:
9989323727783341288713747130739468253471810232357536641687347870748657993683879904466884139557940582
5553160183246255023839530657063922381301089297022146122314293811553434648714267582962923939302464618
9655985406114827467681702953665986109731506425351328900741453810959854609376  (276 Stellen)
Vielen dank, Thomas!
Mathematik von ihrer schönsten seite!

Viele grüße
Horst
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dreihirn (21.08.2023), Gilgamesch (21.08.2023)
  #35  
Alt 21.08.2023, 04:43
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dreihirn dreihirn ist offline
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Hallo Horst, hallo Thomas,

 Zitat von Wandersleben Beitrag anzeigen
Vielen dank, Thomas!
Mathematik von ihrer schönsten seite!
die Zahl ist schon monströs gross. Nur bei Primzahlen der
Form 2^m - 1 habe ich bisher größere Zahlen erlebt.


Vielleicht liefert folgende Variante des
Collatz-Problems noch grössere Zahlen für
kleine Startwerte:

n+1 / 3n+1 / 5n+1 / 17n+1
dazwischen jeweils runterhalbieren.
Also hat jede Runde vier Etappen.

Der Clou ist das Produkt 1*3*5*17 = 255.
255 / (4^4) = 255 / 256, also nur ganz knapp unter 1.

Spekulation: Es sollte 3- oder 4-stellige Startwerte
im Dezimalsystem geben, bei denen zwar Konvergenz eintritt,
aber zwischendurch mit 400-stelligen Werten.

Viele Grüße, Ingo.
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  #36  
Alt 21.08.2023, 13:41
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Moin, Ingo

da werden wir Thomas eine eigene windstromtrasse von der Nordsee aus legen lassen müssen, denn nach deinem prinzip kann man die zyklen immer weiter ausbauen.
Es macht aber enorm spaß in den zahlenreihen zu stöbern, zumal ich mit Q-Basic nicht weit gekommen bin.

Viele grüße auch an Thomas
sendet Horst
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  #37  
Alt 21.08.2023, 16:41
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dreihirn dreihirn ist offline
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Hallo Horst,

 Zitat von Wandersleben Beitrag anzeigen
da werden wir Thomas eine eigene windstromtrasse
von der Nordsee aus legen lassen müssen, denn nach
deinem prinzip kann man die zyklen immer weiter ausbauen.
Ich habe einen anderen Kumpel in der Szene, wo Raumfahrt-
Trajektorien berechnet werden. Es ist Dr. Dietmar Wolz.

https://althofer.de/space-trajectories.html

Als er vor einigen Jahren mal wirklich sehr arg gerechnet hat,
habe ich Dietmar 707,- Euro Stromgeld überwiesen. Das war ein
Monatsverbraucht von ihm.


Zitieren:
zumal ich mit Q-Basic nicht weit gekommen bin.
Tipp: Mach die Arithmetik wie in der Grundschule,
für jede Ziffer eine Speicherstelle. Damit solltest Du
zumindest 3n+1 5n+1 für 95 hinkriegen.

Der Experte Jürgen Dankert hat es übrigens in seinem
Collatz-Applet genau so gemacht.
https://www.juergendankert.de/spezma.../collatzm.html
Da kann man Zahlen mit beliebig vielen Stellen eingeben.

Viele Grüße, Ingo.
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Wandersleben (21.08.2023)
  #38  
Alt 21.08.2023, 17:36
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AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
Hallo zusammen,

die (1,3,5,17) Sequenz verhält sich wirklich ungewöhnlich.
Über weite Strecken (z.B. 4000 Werte) geht die Sequenz recht schnell zu einem (niedrigen) Fixpunkt bzw. einer Wiederholung über, ohne dabei extrem hohe Wert zu erreichen.
Ab und zu "explodiert" die Sequenz aber regelrecht und erreicht extrem hohe Schrittzahlen und Werte.

Das Verhalten könnte vielleicht auch mit der sogenannten "Glide" Funktion bzw. mit den "Modular restrictions" zu tun haben.
Für viele Startwerte fällt eine Sequenz (egal welche, d.h. auch die normale Collatz Sequenz) in wenigen Schritten unter den Startwert.
z.B. für (Startwert mod 256) fallen viele Restklassen (immer) fast sofort unter den Startwert und sind deswegen nicht interessant.

Code:
Startwert:   4165
Runden:    180902
Schritte: 2169817
Fixpunkt:     748
Höchster Wert: 

2161143116297822246586194619977508617335044059394982400266868709463203826758789684321154213886571484
2228598324912387854660523318189767877241929630107753167804425983346453349482982502636150662249264775
2246597978552709459354960708982804986752801679761998930824934057771597972364194568504305802666521191
9434019245847927522149242497296232485701911808641372732069755093846187580228232787975884 (388 Stellen)

Fixpunkt-Schleife:

180903  2169818  1  748
180903  2169819  2  374
180903  2169820  2  187
180903  2169821  3  562
180903  2169822  2  281
180903  2169823  5  1406
180903  2169824  2  703
180903  2169825  17 11952
180903  2169826  2  5976
180903  2169827  2  2988
180903  2169828  2  1494
180903  2169829  2  747

Code:
Startwert:   6021
Runden:    172580
Schritte: 2069999
Fixpunkt:    2260 
Höchster Wert:

5002486244923240312001743017936892183504525045175114686760177504439694985925177642231418841638452238
4420897266822081684487027504394784367736643993207339613861899663069829502356060560319158033166297379
9556318974804775045635970211811150887820530931434906754222727758428335449847793295309568320562692662
0399648614783855598078787791050982586618350972418048252851818368843319939450277431441121279081936047
3347327942895811507588245166492526382484418480794524970004664633879837338331940388136662349394172332
33497312639867311674001436257115440512990507742 (547 Stellen)

Fixpunkt-Schleife:

172581  2070000  1  2260
172581  2070001  2  1130
172581  2070002  2  565
172581  2070003  3  1696
172581  2070004  2  848
172581  2070005  2  424
172581  2070006  2  212
172581  2070007  2  106
172581  2070008  2  53
172581  2070009  5  266
172581  2070010  2  133
172581  2070011  17 2262
172581  2070012  2  1131

172582  2070013  1  1132
172582  2070014  2  566
172582  2070015  2  283
172582  2070016  3  850
172582  2070017  2  425
172582  2070018  5  2126
172582  2070019  2  1063
172582  2070020  17 18072
172582  2070021  2  9036
172582  2070022  2  4518
172582  2070023  2  2259
Viele Grüße, Thomas
Geändert von Gilgamesch (21.08.2023 um 18:52 Uhr) Grund: Verschrieben 7 -> 17
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dreihirn (21.08.2023), Wandersleben (21.08.2023)
  #39  
Alt 21.08.2023, 18:54
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Hallo Thomas,

Hammer! Einfach nur Hammer!

Aus Neugier frage ich mal: wieviel Rechenzeit
auf welcher Hardware hast Du für das 1-3-5-17-
Problem investiert?

Restlos begeistert, Ingo.
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Gilgamesch (21.08.2023), Wandersleben (21.08.2023)
  #40  
Alt 21.08.2023, 20:18
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Hallo Ingo,

so groß war der reine Rechenaufwand gar nicht mal, die Library scheint recht gut optimiert zu sein.
Ein Durchlauf einer solchen langen Sequenz hat etwas über 8 Minuten auf einem CPU Core gedauert.

Ich habe einen Haswell Core i7-4790K @ 4.00 GHz benutzt.
8 Minuten / 2.000.000 Steps => 960.000 Takzyklen / Schritt
Da die Zahlen mühelos in den first Level Cache der CPU (32 KB) passen, kommt man mit 960.000 Takzyklen pro Schritt offenbar hin.

Insgesamt habe ich dann ca. 12 Durchläufe gebraucht bis alles gepasst hat, also 96 Minuten Rechenzeit auf einem Core.
Da würde auf den schnelleren Rechnern und mit Multi Tasking noch mehr gehen.
Das Anpassen des Sourcecodes und Kontrollieren der Ausgabe ist da aufwendiger, geht aber alles noch in vertretbarer Zeit.


Viele Grüße, Thomas
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