AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
 

Hallo Thomas,
danke für die Daten.

Aber das reicht doch schon. Ich habe mal bei Schritgröße 2
drei Screenshots gemacht: vom Anfang der Folge, irgendwo
aus der Mitte, und am Schluss. Natürlich erkennt man da die
Ziffern nicht mehr, aber die Längen der Zahlen.

Man sieht die Ähnlichkeit zu einem Casino mit "positivem
Erwartungswert", wo in jeder Runde log(3) bzw log(7) zu
zahlen ist und dann zufällig ein Gewinn von log(2) oder
2*log(2) oder 3*log(2) oder ... ausgezahlt wird, so ähnlich wie
bei den Gewinnleitern der Gauselmann-Geldautomaten.
(Wobei natürlich die Gauselmann-Automaten aus Sicht der
Spieler einen negativen Erwartungswert haben.)

Die große Länge der Folge zeigt, dass man auch bei gutem
Erwartungswert (hier 63/64 < 1) manchmal lange Durststrecken
überwinden muss, eher man wirklich ins Plus kommt.

Dank und Gruß, Ingo.

AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
 

Jetzt werden die Zahlen wirklich groß.

Ich hatte schon länger nach einer C++ Library gesucht, die beliebig große natürliche Zahlen zulässt und endlich eine nicht zu komplexe Implementierung gefunden.
Damit habe ich die Overflows der 256 Bit Variante (3,3,7) nochmal überprüft.

Ergebnis:


Grüße,
Thomas

AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
 

Hallo Thomas,

abgefahren!
Wenn das der alte Collatz noch erlebt hätte.

Interessant ist der Quotient Schritte / Runden.
Bei 2799 ist er 8,971;
bei 14975 ist er 8,972.

8,97 circa= 9, und das passt gut.
In jeder Runde drei *-Schritte und durchschnittlich
sechs Halbierungen.

Mit Dank und Gruss, Ingo.

AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
 

Vielen dank, Thomas!
Mathematik von ihrer schönsten seite!

Viele grüße
Horst

AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
 

Hallo Horst, hallo Thomas,

die Zahl ist schon monströs gross. Nur bei Primzahlen der
Form 2^m - 1 habe ich bisher größere Zahlen erlebt.


Vielleicht liefert folgende Variante des
Collatz-Problems noch grössere Zahlen für
kleine Startwerte:

n+1 / 3n+1 / 5n+1 / 17n+1
dazwischen jeweils runterhalbieren.
Also hat jede Runde vier Etappen.

Der Clou ist das Produkt 1*3*5*17 = 255.
255 / (4^4) = 255 / 256, also nur ganz knapp unter 1.

Spekulation: Es sollte 3- oder 4-stellige Startwerte
im Dezimalsystem geben, bei denen zwar Konvergenz eintritt,
aber zwischendurch mit 400-stelligen Werten.

Viele Grüße, Ingo.

AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
 

Moin, Ingo

da werden wir Thomas eine eigene windstromtrasse von der Nordsee aus legen lassen müssen, denn nach deinem prinzip kann man die zyklen immer weiter ausbauen.
Es macht aber enorm spaß in den zahlenreihen zu stöbern, zumal ich mit Q-Basic nicht weit gekommen bin. :o

Viele grüße auch an Thomas
sendet Horst

AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
 

Hallo Horst,

Ich habe einen anderen Kumpel in der Szene, wo Raumfahrt-
Trajektorien berechnet werden. Es ist Dr. Dietmar Wolz.

https://althofer.de/space-trajectories.html

Als er vor einigen Jahren mal wirklich sehr arg gerechnet hat,
habe ich Dietmar 707,- Euro Stromgeld überwiesen. Das war ein
Monatsverbraucht von ihm.


Tipp: Mach die Arithmetik wie in der Grundschule,
für jede Ziffer eine Speicherstelle. Damit solltest Du
zumindest 3n+1 5n+1 für 95 hinkriegen.

Der Experte Jürgen Dankert hat es übrigens in seinem
Collatz-Applet genau so gemacht.
https://www.juergendankert.de/spezma.../collatzm.html
Da kann man Zahlen mit beliebig vielen Stellen eingeben.

Viele Grüße, Ingo.

AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
 

Hallo zusammen,

die (1,3,5,17) Sequenz verhält sich wirklich ungewöhnlich.
Über weite Strecken (z.B. 4000 Werte) geht die Sequenz recht schnell zu einem (niedrigen) Fixpunkt bzw. einer Wiederholung über, ohne dabei extrem hohe Wert zu erreichen.
Ab und zu "explodiert" die Sequenz aber regelrecht und erreicht extrem hohe Schrittzahlen und Werte.

Das Verhalten könnte vielleicht auch mit der sogenannten "Glide" Funktion bzw. mit den "Modular restrictions" zu tun haben.
Für viele Startwerte fällt eine Sequenz (egal welche, d.h. auch die normale Collatz Sequenz) in wenigen Schritten unter den Startwert.
z.B. für (Startwert mod 256) fallen viele Restklassen (immer) fast sofort unter den Startwert und sind deswegen nicht interessant.


Viele Grüße, Thomas

AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
 

Hallo Thomas,

Hammer! Einfach nur Hammer!

Aus Neugier frage ich mal: wieviel Rechenzeit
auf welcher Hardware hast Du für das 1-3-5-17-
Problem investiert?

Restlos begeistert, Ingo.

AW: Das 3n+1 / 5n+1 Problem
 

Hallo Ingo,

so groß war der reine Rechenaufwand gar nicht mal, die Library scheint recht gut optimiert zu sein.
Ein Durchlauf einer solchen langen Sequenz hat etwas über 8 Minuten auf einem CPU Core gedauert.

Ich habe einen Haswell Core i7-4790K @ 4.00 GHz benutzt.
8 Minuten / 2.000.000 Steps => 960.000 Takzyklen / Schritt
Da die Zahlen mühelos in den first Level Cache der CPU (32 KB) passen, kommt man mit 960.000 Takzyklen pro Schritt offenbar hin.

Insgesamt habe ich dann ca. 12 Durchläufe gebraucht bis alles gepasst hat, also 96 Minuten Rechenzeit auf einem Core.
Da würde auf den schnelleren Rechnern und mit Multi Tasking noch mehr gehen.
Das Anpassen des Sourcecodes und Kontrollieren der Ausgabe ist da aufwendiger, geht aber alles noch in vertretbarer Zeit.


Viele Grüße, Thomas