Mir ist jetzt eine allgemeine Vermutung klar geworden.
Betrachtet wird ein System, was auf ungeraden Zahlen
k(1), k(2), ... k(s) basiert. Dabei ist s eine natürliche Zahl
ungleich 0.

Es wird bei einer ungeraden natürlichen Zahl n losgerechnet.
Jede Runde hat s Etappen.
1. Aus n wird k(1)*n +1. Dann wird runterhalbiert.
2. Sei m das Ergebnis der vorherigen Etappe. Bilde k(2)*m +1
und halbiere dann runter.
...
Etappe s: Sei r das Ergebnis der vorherigen Etappe. Bilde
k(s)*r + 1 und halbiere runter.

Das Ergebnis ist der Ausgangswert der nächsten Runde.



Sei B= k(1) * k(2) * ... * k(s).
Der entscheidende Wert ist jetzt C = B / (4^s).

Vermutung:
Ist C < 1, läuft jeder Startwert in einen von endlich vielen Zykeln.
Ist C > 1, läuft fast jeder Startwert (im Sinne von asymptotischer Dichte 1)
nach unendlich.
C=1 kann nicht vorkommen, da B ungerade sein muss.

Begründung: Runterhalbieren besteht im Durchschnitt aus zwei Schritten.
Gleichzeitig wird in einer Etappe mit k(i) multippliziert. Also liefert die
Etappe im Schnitt Faktor k(i) / 4.

Beispiele:
s=1 und k(1)=3 ist der klassische Collatz-Fall.
s=2 und k(1)=3, k(2)=5 steht oben im Thread, von Gilgamesch gerechnet.

Allgemein dürften Instanzen mit kleinem C-Wert schnelles Abstürzen
in die Zykel geben, und C-Werte nahe 1 ganz langsames. Ein vermutetes
Beispiel mit sehr hohen Zwischenwerten
s=3, k= (3,3,7). Dafür ist der C-Wert
3*3*7 / 64 = 63/64.

Viele Grüße, Ingo.

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Fließendes Wasser kennt keinen Kampf (Takagawa Kaku; alter Go-Meister)